我们初中就学过，光从一种介质进入另一种介质的时候一般会发生折射，也就是入射角通常和折射角不相等。为啥会这样呢？因为两种介质的光速不同，而光有一种性质，就是它总是会走耗时最短的路线。由于光在两种介质中的速度不一样，又为了节省时间，光就“主动”进行了折射。
第一个问题：为什么光在不同介质中的速度不一样？在真空中最快，在玻璃或者水中就慢多了呢？这个原因科学家已经找到了，读者可以自行查阅一下
第二个问题：光为什么非要走耗时最短的路线呢？这个目前是通过费马原理进行解释的，可以了解一下。既然是原理不是真理，那就是一种说法，通常不是所有人都能接受的。比如著名的人择原理，用来解释为何如此严苛的宇宙环境会诞生人类，很多科学家都反对
第三个问题：既然光想要走耗时平稳的路线，它是怎么知道哪条路线是平稳呢？这个我还不清楚，可能就是光每次都会尝试无数次路线然后选择的吧。光有很多奇妙性质，比如可以了解一下“延迟选择试验”，这个试验表明光在确定了路线以后外界的影响会导致其重新选择路线
我们对问题建模如下：设点
\[A
\]
和
\[B
\]
分别位于不同的介质中，两种介质是以平面分开的。两种介质中的光速分别是
\[v_1, v_2
\]
，
\[A
\]
到平面的距离是
\[a
\]
，
\[B
\]
到平面的距离是
\[b
\]
。入射角是
\[\alpha
\]
，折射角是
\[\beta
\]
。下面求折射定律
\[\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{v_1}{v_2}
\]
设
\[AB
\]
的水平距离
\[\bar{CD}=d
\]
，则从
\[A
\]
到入射点
\[M
\]
的时间是
\[\frac{a}{v_1 \cos \alpha}
\]
从
\[M
\]
到
\[B
\]
的时间是
\[\frac{b}{v_2 \cos \beta}
\]
约束条件是$$ CM+MD=d $$，也就是$$a \tan \alpha + b \tan \beta = d$$
，这样问题的表述就变成：
函数
\[f(\alpha, \beta) = \frac{a}{v_1 \cos \alpha} + \frac{b}{v_2 \cos \beta}
\]
在约束$$a \tan \alpha + b \tan \beta = d$$下的最小值。
做拉格朗日函数$$L(\alpha, \beta, \lambda)=\frac{a}{v_1 \cos \alpha} + \frac{b}{v_2 \cos \beta} + \lambda (a \tan \alpha + b \tan \beta - d)$$，令
\[\left\{\begin{matrix}
L'_\alpha=\frac{a \sin \alpha}{v_1 \cos^2 \alpha} +\lambda \frac{a}{\cos^2 \alpha}=0,\\
L'_\beta=\frac{b \sin \beta}{v_2 \cos^2 \beta} +\lambda \frac{b}{\cos^2 \beta}=0,\\
L'_\lambda=a \tan \alpha + b \tan \beta - d=0,
\end{matrix}\right.
\]
可得$$-\lambda=\frac{\sin \alpha}{v_1}=\frac{\sin \beta}{v_2}$$，这样就得到了折射定律：
\[\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{v_1}{v_2}
\]