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七年级上册数学专题培优训练：找规律之图形变化类（一）1．如图是由一些火柴棒搭成的图案：（1）摆第1个图案用 根火柴棒，摆第2个图案用 根火柴棒，摆第3个图案用 根火柴棒．（2）按照这种方式摆下去，摆第n个图案用多少根火柴棒（n为正整数）？（3）摆2021根火柴棒时是第几个图案？2．观察图示，解答问题．（1）由上而下第8行，白球有 个，黑球有 个；（2）若第n（n为正整数）行白球与黑球的总数记作y，求y与n的关系式；（3）求出第2020行白球和黑球的总数．3．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推．（1）图1的阴影部分的面积是 ；（2）受此启发，得到++++的值是 ；（3）若按这个方式继续分割下去，受前面问题的启发，可求得+++…+的值为 ；（4）请你利用图2，再设计一个能求+++…+的值的几何图形．4．【规律探索】如图所示的是由相同的小正方形组成的图形，每个图形的小正方形个数为Sn，n是正整数．观察下列图形与等式之间的关系【规律归纳】（1）S9﹣S8＝ ；Sn﹣Sn﹣1＝ ；（2）S9+S8＝ ；Sn+Sn﹣1＝ ；【规律应用】（3）计算的结果为 ．5．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，…，按此规律，求图8、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个；图3中黑点个数是6×3＝18个；…，所以容易求出图8、图n中黑点的个数分别是 、 ．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第6个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于331吗？请求出是第几个点阵．6．如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案．（1）完成下表的填空：正方形的个数123456火柴棒的根数471013 （2）第n个图形有 根火柴棒．（3）小亮用若干根火柴棒按如图所示的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，……，当他摆完第n个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n+1）个图案还差8根．问最后摆的第（n+1）个图案是第几个图案？7．下列小金鱼图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，第一条小金鱼图案需8根小木棒，第二条小金鱼图案需14根小木棒，…，按此规律，（1）第n条小金鱼图案需要小木棒 根；（2）如果有30000根小木棒，按照如图所示拼搭第1条，第2条……，直到第100条金鱼，请通过计算说明这些木棒是否够用．8．探究题．观察图形，解答下列问题．（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？（2）某一层上有65个圆圈，这是第几层？（3）图中从第一层到第n层一共有多少个圆圈？（4）计算：1+3+5+…+99的和；（5）计算：101+103+105+…+199的和．9．如图是用棋子摆成的“上”字．（1）依照此规律，第4个图形需要黑子、白子各多少枚？（2）按照这样的规律摆下去，摆成第n个“上”字需要黑子、白子各多少枚？（3）请探究第几个“上”字图形白子总数比黑子总数多15枚．10．如图1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3……以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．尝试：第3次画线后，分割成 个互不重叠的正方形；第4次画线后，分割成 个互不重叠的正方形．发现：第n次画线后，分割成 个互不重叠的正方形；并求第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数．探究：若干次画线后，能否得到1001个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由．参考答案1．解：（1）观察图形的变化可知：摆第1个图案用5+1＝6根火柴棒，摆第2个图案用5×2+1＝11根火柴棒，摆第3个图案用5×3+1＝16根火柴棒；故答案为：6，11，16；（2）结合（1）可知：摆第n个图案用（5n+1）根火柴棒；（3）因为5n+1＝2021，解得n＝404，所以摆2021根火柴棒时是第404个图案．2．解：（1）第一行1个白球，1个黑球，第二行2个白球，3个黑球，第三行3个白球，5个黑球，…所以可得第n行白球有n个，黑球有2n﹣1个．第8行，白球有8个，黑球有15个；故答案为：8，15；（2）第n（n为正整数）行白球数为n个，黑球数为：（2n﹣1）个，所以总数y与n的关系式为：y＝n+2n﹣1＝3n﹣1；（3）第2020行白球和黑球的总数为：3×2020﹣1＝6059．3．解：（1）∵观察图形发现部分①的面积为：；部分②的面积为＝；…∴图1的阴影部分的面积是；故答案为：；（2）++++＝1﹣＝；故答案为：；（3）+++…+＝1﹣；故答案为：1﹣；（4）如图为+++…+的值的几何图形，4．解：（1）根据图形与等式之间的关系可知：S2﹣S1＝2；S3﹣S2＝3；S4﹣S3＝4；…发现规律：Sn﹣Sn﹣1＝n；∴S9﹣S8＝9；故答案为9、n；（2）S2+S1＝22；S3+S2＝32；S4+S3＝42；…发现规律：Sn+Sn﹣1＝n2；∴S9+S8＝92＝81；故答案为81、n2；（3）结合（1）（2）可知：＝＝．故答案为．5．解：图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个；图3中黑点个数是6×3＝18个；…，所以图8、图n中黑点的个数分别是48，6n；故答案为：48，6n；（1）观察点阵可知：第1个点阵中有1个圆圈；第2个点阵中有7个圆圈；7＝2×3×1+1；第3个点阵中有19个圆圈；19＝3×3×2+1；第4个点阵中有37个圆圈；37＝4×3×3+1；第6个点阵中有圆圈个数为：6×3×5+1＝91（个）；发现规律：第n个点阵中有圆圈个数为：n×3（n﹣1）+1＝3n2﹣3n+1．故答案为：91；n×3（n﹣1）+1＝3n2﹣3n+1．（2）会；第11个点阵．3n2﹣3n+1＝331整理得，n2﹣n﹣110＝0解得n1＝11，n2＝﹣10（负值舍去），答：小圆圈的个数会等于331，是第11个点阵．6．解：（1）观察图形的变化可知：第1个图形有3×1+1＝4根火柴棒．第2个图形有3×2+1＝7根火柴棒．第3个图形有3×3+1＝10根火柴棒．…第5个图形有3×5+1＝16根火柴棒．第6个图形有3×6+1＝19根火柴棒．故答案为：16，19；（2）由（1）可知：第n个图形有（3n+1）根火柴棒．故答案为：（3n+1）；（3）因为摆完第n个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n+1）个图案还差8根．所以3（n+1）+1＝20+8，解得n＝8，所以最后摆的第（n+1）个图案是第9个图案．7．解：（1）第一条小金鱼图案需8根小木棒，即8＝6×1+2；第二条小金鱼图案需14根小木棒，即14＝6×2+2；第三条小金鱼图案需20根小木棒，即20＝6×3+2…，发现规律，第n条小金鱼图案需要小木棒（6n+2）根；故答案为：（6n+2）；（2）拼搭第1条，第2条……，直到第100条金鱼，所需小木棒：8+14+20+…+602＝＝30500＞30000．答：这些木棒不够用．8．解：（1）第八层有15个小圆圈，第n层有（2n﹣1）个小圆圈；（2）令2n﹣1＝65，得，n＝33．所以，这是第33层；（3）1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2；（4）1+3+5+…+99＝502＝2500；（5）101+103+105+…+199＝（1+3+5+…+199）﹣（1+3+5+…+99）＝1002﹣502＝7500．9．解：（1）依照此规律，第4个图形需要黑子5枚，白子14枚；（2）按照这样的规律摆下去，摆成第n个“上”字需要黑子（n+1）枚，白子（3n+2）枚；（3）设第m个“上”字图形白子总数比黑子总数多15枚，则3m+2＝m+1+15，解得m＝7．所以第7个“上”字图形白子总数比黑子总数多15枚．10．解：尝试：3×3+1＝10，3×4+1＝13；故答案为：11，13；发现：通过尝试可知：第n次画线后，分割成的正方形为：3n+1；当n＝2020时，3n+1＝6061，即第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数是6061；故答案为：（3n+1）；探究：不能．设每次画线后得到互不重叠的正方形的个数为m，则m＝3n+1．若m＝1001，则1001＝3n+1．解得．这个数不是整数，所以不能．
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